矩阵乘法中的结合律 \((AB)C = A(BC)\) 之因此成立，可以从数学定义、线性变换的几何意义以及实际应用三个角度解释：
1.数学定义的直接验证
矩阵乘法的结合律可通过元素级计算证明。设矩阵 \(A\) 为 \(m \times n\) 维，\(B\) 为 \(n \times p\) 维，\(C\) 为 \(p \times q\) 维，则：
- \((AB)C\) 的每个元素为 \(\sumk=1}^p \left( \sumj=1}^n aij}bjk} \right)c_kl}\)；
- \(A(BC)\) 的每个元素为 \(\sumj=1}^n aij} \left( \sumk=1}^p bjk}c_kl} \right)\)。
通过交换求和顺序，两者结局一致，即 \((AB)C = A(BC)\)。
2.线性变换的几何解释
矩阵乘法本质上是线性变换的组合。例如：
- \(AB\) 表示先应用变换 \(B\)，再应用 \(A\)；
- \((AB)C\) 则是先应用 \(C\)，再应用 \(AB\)，等价于依次应用 \(C \rightarrow B \rightarrow A\)；
- \(A(BC)\) 则是先组合 \(B\) 和 \(C\) 的变换，再应用 \(A\)，即 \(C \rightarrow B \rightarrow A\)。
两种操作路径的最终效果相同，体现了线性变换的复合天然满足结合律。
3.实际应用中的意义
结合律在算法优化和复杂模型计算中起到关键影响：
- 路径难题：若用矩阵表示情形转移（如邻接矩阵），计算经过 \(k\) 步的路径数时，结合律允许将多次矩阵幂运算合并（如 \(A \cdot A = A\)），减少计算复杂度；
- 图形变换：在计算机图形学中，多次旋转、缩放安宁移操作通过矩阵乘法实现，结合律保证了变换顺序的灵活性。
注意：结合律与交换律的区分
虽然矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律（即 \(AB \eq BA\) 一般成立）。例如，中的邻接矩阵乘法顺序不同会导致完全不同的路径结局，这进一步凸显了结合律与交换律的本质差异。
结合律的成立源于矩阵乘法的线性变换本质和数学定义的兼容性，它在学说推导和工程计算中均有广泛应用，是矩阵运算的核心特性其中一个。
